Echte zufallszahlen

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Es gilt das Tur-Tur Prinzip. Je weiter weg man von der Grenze ist, desto klarer wird die Unterscheidung, je näher man daran ist, desto unschärfer und unsicherer wird sie.

Zwischen dem Zufall und der Entropie, wie er in der Informationstheorie definiert wurde, besteht ein enger Zusammenhang. Shannon zurück und existiert seit etwa In diesem Jahr veröffentlichte Shannon seine fundamentale Arbeit A Mathematical Theory of Communication und prägte damit die moderne Informationstheorie.

Die Entropie erhält die Pseudoeinheit bit. H multipliziert mit der Anzahl der Zeichen im Informationstext ergibt dann die mindestens notwendige Anzahl von Bits, die zur Darstellung der Information notwendig sind.

Obige Formel ist für den mathematisch nicht vorgebildeten schwer verständlich. Sie wird leichter zu verstehen, wenn man von ganz einfachen Beispielen wie dem Münzwurf, einem Sechser- oder Achterwürfel ausgeht und die Entropie dazu berechnet.

Siehe dazu die weiter unten angegebenen Beispiele. Dabei ist die Einheit der Zufallsinformation 1 bit definiert als die Informationsmenge, die in einer Zufallsentscheidung eines idealen Münzwurfes enthalten ist.

Wenn die Entropie etwa einen Wert von 1 hat, dann gilt die Information als zufällig. Die rein statistische Berechnung der informationstheoretischen Entropie nach obiger Formel ist gleichzeitig ihre Beschränkung.

Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, eine 0 oder 1 in einer geordneten Zeichenkette " Daher ist Shannons Entropie für beide Zeichenketten identisch, obwohl man intuitiv die erste Kette als weniger zufällig bezeichnen würde.

Eine angemessenere Definition der Entropie einer Zeichenkette liefert die bedingte Entropie und Quellentropie, die beide auf Verbundwahrscheinlichkeiten aufbauen.

Die Entropie wird hier als 1 bit definiert. Gemessen als Entropie liegt die Ungewissheit bei nur noch etwa 0, Bei der Münze ergänzen sich die Wahrscheinlichkeiten beider Möglichkeiten zu Summe 1, da es nur 2 Möglichkeiten gibt.

Für jedes p kann man daraus die Entropie direkt ablesen. Dieser Zusammenhang gilt jeweils für ein Zufallsereignis.

Bei mehreren Zufallsereignissen muss man die einzelnen Entropien zusammenzählen und man kann so leicht Entropiewerte über 1 erreichen.

Wiederholt man den Münzwurf 2 mal wächst die Zahl der Möglichkeiten auf 4. Die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen Möglichkeit liegt bei 0, Die Entropie des zweimaligen Münzwurfes ist dann 2 bit.

Wenn man einen idealen Münzwurf mehrfach wiederholt, dann addiert sich die Entropie einfach. Die Entropie einer Reihe von 20 idealen Münzwürfen berechnet sich einfach: Dies wird im folgenden Bild dargestellt.

Sei nun eine Folge von Münzwürfen als Bitfolge zu speichern. Diese erhält man beispielsweise durch den Huffman-Kode. Beim idealen Würfel sind 6 Möglichkeiten im Ergebnisraum.

Daraus folgt die Entropie für einmal werfen:. Einfach zu berechnen ist die Entropie eines Wurfes eines idealen Achterwürfels: Er hat 8 gleichberechtigte Möglichkeiten.

Die folgende Abbildung stellt den Zusammenhang zwischen der Entropie und der Zahl der gleichberechtigten Möglichkeiten eines Zufallexperimentes dar.

Betrachtet man eine binäre Datei einer bestimmten Länge z. Ein Teil der Möglichkeiten aus dieser Gesamtinformationsmenge sind reine Zufallsfolgen, der Rest sind mehr oder minder geordnete Folgen.

Die Grenze zwischen beiden Bereichen ist nicht scharf zu ziehen, sondern nur mit einem Wahrscheinlichkeitsniveau von z. Je weiter man von der Grenze weg ist, desto klarer ist die Zuordnung.

Der Mathematiker und Zufallsforscher Chaitin hat 2 Beispiele genannt:. Beide Reihen haben dieselbe Länge und denselben Speicherplatzbedarf an Bits. Trotzdem unterscheiden sie sich fundamental.

Die Menge an Zufall einer Reihe lässt sich durch die Entropie bzw. Dies ist Gegenstand der Informationstheorie, die erstmals von Claude Shannon formalisiert wurde.

Die erste Reihe hat zum Beispiel eine Entropie von 0 oder nahe 0, die zweite Reihe hat eine Entropie von 20 bit.

Eine interessante Frage ist nun, wie hoch der Anteil der Zufallsfolgen an der Zahl der gesamten Möglichkeiten ist. Eine weitere interessante Frage ist, ob man die Nichtzufälligkeit irgendwie quantifizieren kann, also ob man sagen kann: Die einfachste Form der Ordnung ist hier die Wiederholung von Teilstücken, man spricht auch von Redundanz.

Dann ergeben sich die allgemeinen Aussagen: Der Anteil der Zufallsfolgen wächst mit der Anzahl der Gesamtmöglichkeiten, oder anders ausgedrückt: Je länger eine binäre Sequenz ist, desto mehr Möglichkeiten für Zufallsfolgen stecken in ihr.

Je geordneter eine ganz bestimmte Binärfolge ist, desto weniger "Zufall" steckt in ihr. Vor allem in dem Begriff der Komprimierbarkeit, den man zur Definition der geordneten Folge heranzieht, stecken einige Tücken.

Er ist mathematisch auf verschiedene Arten definierbar. Bei kurzen binären Sequenzen ist die Unterscheidung zwischen Ordnung und Zufall willkürlich, je länger die Sequenzen werden, desto besser sind sie dem Bereich des Zufalls oder dem Bereich geordneter Folge zuzuordnen.

Trotzdem bleiben auch bei längeren Folgen von Nullen und Einsen Überlappungen zwischen geordneten Folgen und Zufallsfolgen bestehen. Jede geordnete binäre Folge kann mittels eines guten Komprimierungsverfahrens in eine scheinbare Zufallsfolge überführt werden.

Das Ergebnis sieht dann zwar zufällig aus, in ihm steckt aber bedeutsame Information. Umgekehrt kann man mittels komplizierter Rechenverfahren Zufallszahlen erzeugen, die ausschauen wie echte z.

Selten findet man eine brauchbare mathematische Definition. Will man Ordnung wie es beispielsweise die Kristallchemie tut als Gegensatz von Entropie ansehen, dann kann man folgende Formel aufstellen.

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Author: Shakarg

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